Con
el Sistema de
Numeración Arábigo o Decimal
se pueden representar infinitos números reales. Para ello,
se
utilizan diez cifras o dígitos numéricos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 (diez son los
dedos de las manos). También se
usan los signos más
(+) y menos (-) para representar
a los números positivos y negativos, respectivamente, y un punto (.) o una coma (,) para separar la parte entera de la parte fraccionaria.
Numero real =
parte entera , parte fraccionaria
Ejemplo
1:
Los números 5,6
y -502,12
representan a los números "cinco con seis" y "menos
quinientos dos coma doce".
5,6 = 5 + 0,6
-502,12 = -500 - 2 - 0,1 - 0,02
Una de las características más importantes del
Sistema Decimal es que es un sistema
de numeración posicional.
Sistemas
de numeración posicional
En
un sistema de
numeración posicional, cada cifra representa a
un valor relativo
diferente, dependiendo de su valor
absoluto y de su posición
en una secuencia de dígitos. Esta característica
le
convierte en un sistema de numeración adecuado para realizar
operaciones matemáticas por escrito, tales como: la suma, la
resta, la multiplicación o la división.
Ejemplo
2:
En el Sistema Decimal, el número entero "cuatrocientos
cuarenta y cuatro" se representa como 444. Empezando por
la izquierda, el primer 4
representa al "cuatrocientos" (400),
el segundo 4
representa al "cuarenta" (40)
y el último 4
representa al "cuatro" (4).
En este caso, las tres cifras tienen como valor absoluto: el 4, y como valores
relativos: el 400,
el 40 y el 4.
444 = 400 + 40 + 4
Un sistema de numeración posicional se caracteriza por su base, que viene
determinada por el número de dígitos que utiliza.
Ejemplo
3:
La bases de los Sistemas Decimal, Binario, Octal y Hexadecimal son 10,
2, 8 y 16, debido a que usan diez, dos, ocho y dieciséis
cifras,
respectivamente. En la siguiente tabla se muestran los
dígitos
de cada uno de estos sistemas de numeración.
Figura. Dígitos
de los sitemas de numeración de base 2, 8, 10 y 16.
Los signos hexadecimales A,
B,
C,
D,
E
y F
equivalen, respectivamente, a los números 10, 11, 12, 13, 14 y 15 en base 10.
En cualquier sistema de numeración posicional, una secuencia
de
dígitos se puede representar, formalmente, de la siguiente
manera:
Nb = ap-1
ap-2 ... a1 a0
, a-1 a-2 ... a-q+1
a-q
siendo (N)
el número o secuencia de signos, (b) la base, (p) el
número de dígitos de la parte entera, (q) el
número de dígitos de la parte fraccionaria, (ai) las cifras del
número e (i)
la posición de cada cifra con respecto a la coma (,).
Cumpliéndose que para todo dígito a,
0 <= a <= b-1
y para toda posición i,
-q <= i <= p-1
Ejemplo
4:
En el Sistema Decimal, el número real 4305,86 se puede
expresar como
4305,8610
siendo el número N
= 4305,86, la base b
= 10, el número de dígitos de la
parte entera p = 4,
el número de dígitos de la parte fraccionaria q = 2 y las cifras a3 = 4, a2 = 3, a1 = 0, a0 = 5, a-1 = 8 y a-2 = 6.
Cumpliéndose que para todo dígito a,
0 <= a <= 9
y para toda posición i,
-2 <= i <= 3
Ejemplo
5:
En el Sistema Binario, el número 11010,001 se puede
enunciar como
11010,0012
siendo el número N
= 11010,001, la base b
= 2, el número de dígitos de la
parte entera p = 5,
el número de dígitos de la parte fraccionaria q = 3 y las cifras a4 = 1, a3 = 1, a2 = 0, a1 = 1, a0 = 0, a-1 = 0, a-2 = 0 y a-3 = 1.
Cumpliéndose que para todo dígito a,
0 <= a <= 1
y para toda posición i,
-3 <= i <= 4
Otra característica importante de los sistemas de
numeración posicional es que con n dígitos
se pueden representar bn números
diferentes.
Ejemplo
6:
Con tres dígitos, en el Sistema Decimal se pueden
representar 103 números
enteros positivos distintos, es decir, mil números: del 00010 al 99910, ambos inclusive.
Ejemplo
7:
Con tres dígitos, en los Sistemas Binario, Octal y
Hexadecimal se pueden representar 23, 83 y 163 números
distintos, respectivamente, es decir, 8, 512 y 4096
números, que van desde el 0002 hasta el 1112, desde el 0008 hasta el 7778 y desde el 00016 hasta el FFF16.
Teorema
Fundamental de la Numeración
El
Teorema
Fundamental de la Numeración (TFN)
establece que en cualquier sistema de numeración posicional
todos los números pueden expresarse mediante la siguiente
suma
de productos:
Nb = ap-1∙bp-1
+ ap-2∙bp-2 + ... + a1∙b1
+ a0∙b0 + a-1∙b-1
+ a-2∙b-2 + ... + a-q+1∙b-q+1
+ a-q∙b-q
es decir,
Figura.
Fórmula del Teorema Fundamental de la Numeración.
Ejemplo
8:
Aplicando el TFN, el número real 4305,86, en base 10,
se puede expresar como:
4305,8610
= 4∙103 + 3∙102 + 0∙101
+ 5∙100 + 8∙10-1 + 6∙10-2
4305,8610
= 4∙1000 + 3∙100 + 0∙10 + 5∙1 + 8∙0,1 + 6∙0,01
4305,8610
= 4000 + 300 + 0 + 5 + 0,8 + 0,06
En la secuencia de dígitos ap-1 ap-2
... a1 a0 , a-1
a-2 ... a-q+1 a-q
cada cifra tiene un peso diferente a las demás. El peso
de un dígito viene determinado por su posición
respecto a
la coma (,)
decimal. Cuanto más a la izquierda se encuentra un
dígito, más peso tiene, es decir, más
significativo es. Por tanto, el dígito más
significativo
o de mayor peso es ap-1
y el menos significativo o de menor peso es a-q.
Esto es así porque el peso de ap-1
es bp-1
y el peso de a-q
es b-q.
Ejemplo
9:
En la secuencia de dígitos 4305,86, en base 10,
el signo más significativo es el 4, que representa al
4000,
ya que su peso es 103,
y el menos significativo es el 6,
que representa al 0,06,
ya que su peso es 10-2.
En resumen, el TFN dice que en cualquier sistema de
numeración posicional de base b, un
número N
representa a la suma acumulada de los productos de sus
dígitos ap-1,
ap-2,
..., a1,
a0,
a-1,
a-2,
..., a-q+1
y a-q
por sus respectivos pesos bp-1,
bp-2,
..., b1,
b0,
b-1,
b-2,
..., b-q+1
y b-q.
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